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Álgebra A 62
2026
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
7.
Analizar cada uno de los siguientes sistemas determinando, en cada caso, los valores de $k$ (si existen) que hacen que el sistema resulte compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
a) $\left\{\begin{aligned}(k^{2}-9)x+y+kz&=0\\ (k-1)y+z&=0\\ (k+2)z&=0\end{aligned}\right.$
a) $\left\{\begin{aligned}(k^{2}-9)x+y+kz&=0\\ (k-1)y+z&=0\\ (k+2)z&=0\end{aligned}\right.$
Respuesta
Fijate que la matriz ampliada asociada a este sistema es
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$\begin{pmatrix} k^2-9 & 1 & k & | & 0 \\ 0 & k-1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & k+2 & | & 0 \end{pmatrix}$
En este caso ya está escalonada 👉 Miramos la diagonal. Si todos los elementos de la diagonal son distintos de cero, entonces nuestro sistema es un SCD. Pidamos eso:
-> $k^2-9 \neq 0 \Rightarrow k \neq 3$ y $k \neq -3$
-> $k-1 \neq 0 \Rightarrow k \neq 1$
-> $k+2 \neq 0 \Rightarrow k \neq -2$
Por lo tanto, el sistema es un SCD si $k$ es cuaaaalquier número real excepto el $-3,-2,1$ y $3$
Bueno, ahora podríamos analizar qué pasa con el sistema en cada uno de estos casos, pero darnos cuenta de algo nos va a hacer ahorrar muuucho tiempo -> Fijate que esto es un sistema homogéneo, por lo tanto, siempre tiene al menos la solución trivial, no puede ser jamás incompatible. Con lo cual, los casos $k = -3$, $k = -2$, $k = 1$ y $k = 3$ corresponden a un SCI, infinitas soluciones :)
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